PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT

Soal No. 1
Diberikan persamaan-persamaan kuadrat sebagai berikut:
a) p² − 16 = 0
b) x² − 3 = 0
c) y² − 5y = 0
d) 4 x² − 16 x = 0
Pembahasan
a) p² − 16 = 0
(p + 4)(p − 4) = 0
p + 4 = 0 → p = − 4
p − 4 = 0 → p = 4
Sehingga x = 4 atau x = − 4
Himpunan penyelesaian {−4,  4}

b) x² − 3 = 0
(x + √3)(x − √3) = 0
x = √3 atau x = − √3

c) y² − 5y = 0
y(y − 5) = 0
y = 0 atau y = 5

d) 4 x² − 16 x = 0
Sederhanakan dulu, masing-masing bagi 4 :
x² − 4 x = 0
x(x − 4) = 0
x = 0 atau x = 4

Soal No. 2
Diberikan persamaan-persamaan kuadrat sebagai berikut:
a) x² + 7x + 12 = 0
b) x² + 2x − 15 = 0
c) x² − 9 + 14 = 0
d) x² − 2x − 24 = 0
Faktorkan persamaan-persamaan kuadrat di atas!

Pembahasan
Bentuk umum persamaan kuadrat : ax² + bx + C = 0
Untuk nilai a = 1 seperti semua soal nomor 2, pemfaktoran sebagai berikut:
→ Cari dua angka yang jika di tambahkan (+) menghasilkan b dan jika dikalikan (x) menghasilkan c
a) x² + 7x + 12 = 0
+ → 7
x → 12
Angkanya : 3 dan 4
Sehingga
x² + 7x + 12 = 0
(x + 3)(x + 4) = 0
x = − 3 atau x = − 4

b) x² + 2x − 15 = 0
+ → 2
x → − 15
Angkanya : 5 dan − 3
Sehingga
x² + 2x − 15 = 0
(x + 5)(x − 3) = 0
x = − 5 atau x = 3

c) x² − 9 x + 14 = 0
+ → − 9
x → 14
Angkanya : −2 dan − 7
Sehingga
x² − 9x + 14 = 0
(x − 2)(x − 7) = 0
x = 2 atau x = 7

d) x² − 2x − 24 = 0
x² − 9 + 14 = 0
+ → − 2
x → − 24
Angkanya : − 6 dan 4
Sehingga
x² − 2x − 24 = 0
(x − 6)(x + 4) = 0
x = 6 atau x = − 4

Soal No. 3
Diberikan persamaan-persamaan kuadrat sebagai berikut:
a) 2x² −  x − 6 = 0
b) 3x² − x − 10 = 0
Faktorkan persamaan-persamaan di atas!

Pembahasan
Bentuk yang sedikit lebih sulit dari nomor 2,
Untuk ax² + bx + c = 0
dengan a tidak sama dengan 1, maka
Cari dua angka, namakan P dan Q
→ jika dijumlah (+) hasilnya adalah b atau P + Q = b
jika di kali (x) hasilnya adalah ac atau P.Q = ac

kemudian masukkan dua angka tadi (P dan Q) ke pola berikut:

1/a (ax + P)(ax + Q) = 0

seterusnya liat contoh bawah
a) 2x² + x − 6 = 0
data
a = 2, b = 1 dan c = − 6
Cari angka P dan Q
P + Q = b = 1
P.Q = ac = (2)(−6) = − 12
Sehingga P = 4 dan Q = − 3

masukkan pola
1/a (ax + P)(ax + Q) = 0
1/2(2x + 4)(2x − 3) sederhanakan, kalikan 1/2 dengan (2x + 4)
(x + 2)(2x − 3) = 0
x = −2 atau x = 3/2

b) 3x² − x − 10 = 0
a = 3, b = − 1, c = − 10
P + Q = b = − 1
P.Q = ac = (3)(−10) = − 30
→ P = −6, Q = 5
1/3(3x − 6)(3x + 5) = 0
(x − 2)(3x + 5) = 0
x = 2 atau x = − 5/3

Soal No. 4
Diberikan persamaan kuadrat sebagai berikut:
2x² + x − 6 = 0
Faktorkan persamaan-persamaan di atas dengan menggunakan Rumus ABC!

Pembahasan
Rumus ABC

2x² + x − 6 = 0
a = 2, b = 1 dan c = − 6
Masuk rumus ABC

Read more: http://matematikastudycenter.com/kelas-10-sma/19-persamaan-kuadrat-pemfaktoran#ixzz4AVPnNLwT

 

 Soal No.5

Akar-akar persamaan kuadrat x² + 2x + 3 = 0 adalah x1 dan x2. Tentukanlah persamaan kuadrat baru yang memiliki akar-akar (x1 - 2) dan (x2 - 2).

    
       Pembahasan
              Dari persamaan kuadrat di soal diketahui a = 1, b = 2, dan c = 3.  

         x1 + x2 = -b/a
        ⇒ x1 + x2 = -2/1
        ⇒ x1 + x2 = -2
             x1.x2 = c/a
        ⇒ x1.x2 = 3/1
        ⇒ x1.x2 = 3  

           Persamaan kuadrat baru dapat ditentukan dengan rumus :
x² - (α + β)x + α.β = 0
          dengan α dan β merupakan akar-akar persamaan kuadrat baru.
Pada soal diketahui α = (x1 - 2)  dan β = (x2 - 2).
           α + β = (x1 - 2) + (x2 - 2)
      ⇒ α + β = (x1 + x2) - 4
      ⇒ α + β = -2 - 4
      ⇒ α + β = -6

α.β = (x1 - 2)(x2 - 2)
       ⇒ α.β = x1.x2 - 2x1 - 2x2 + 4
       ⇒ α.β = x1.x2 - 2(x1 + x2) + 4
       ⇒ α.β = 3 - 2(-2) + 4

        ⇒ α.β = 3 + 4 + 4
        ⇒ α.β = 11

Ja      di persamaan kuadrat yang akarnya (x1 - 2) dan (x2 - 2) adalah :
x² - (α + β)x + α.β = 0
        ⇒ x² - (-6)x + 11 = 0
        ⇒ x² + 6x + 11 = 0

       Soal No.6

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x² + 2x – 15 = 0 ?

 

Penyeleasaian   : x² + 2x – 15 = 0
                        x² + 2x = 15
Agar x² + 2x menjadii bentuk kuadrat sempurna, harus ditambah dengan kuadrat dari setengah koefisien x + (½ x 2)2 = 12 = 1
Dengan menambahkan 1 pada kedua ruas, diperoleh :
            x² + 2x + 1 = 15 + 1
                        <=>     (x + 1)2 = 16
<=>     x + 1 = ± √16
<=>     x + 1 =  ± 4
<=>     x + 1 = 4 atau x + 1 = -4
<=>     x = 4 - 1 atau x = -4 -1
<=>     x = 3 atau x = -5
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3, -5}

Menentukan himpunan penyelesaian persamaan 

x2 + 4x – 12 = 0 

  a =1   b = 4   c = -1

 Penyelesaian :

            x1,2 = - b ± √b2 – 4a / 2a

<=>     x1,2 =  - 4  ± √42 – 4 x 1x (-12) / 2 x 1
<=>     x1,2 =  - 4  ± √16 + 48 / 2
<=>     x1,2 =  - 4  ± √64 / 2
<=>     x1,2 =  - 4  ± 8 / 2
<=>     x1,2 =  (- 4  +  8) / 2  atau  x1,2 = ( - 4   -  8 )/ 2                                                                                     
<=>     x1 = 2                        atau       x2 = -6
jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-6, 2}

Soal No.7

Bagaimana menetukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5?

 

Penyelesaian :
 x1 = 2 dan x2 = 5
                        Maka   (x-x1) (x-x2) = 0
                        <=>     (x-2) (x-5) =  0
                        <=>     x2 – 7x + 10 = 0
                        Jadi persamaan kuadratnya x2 – 7x + 10 = 0

          

Soal No.8

  Luas sebidang tanah berbentuk persegi panjang, yaitu 4.320 m2. Jika panjang tanah itu 12m lebih panjang daripada lebarnya, berapakah panjang dan lebar tanah tersebut?Penyelesaian :
Misalnya panjang tanah x meter dan lebar 4 meter maka
Y = ( x- 12) meter
Luas tanah = x . y
4.320        = x . y
<=>  4.320        = x . (x-12)
<=>  x2 – 12x – 4320 = 0
<=>  (x- 72) (x + 60) = 0
<=>  x - 72 = 0  atau x + 60 = 0
<=>  x      = 72 atau  x   = - 60
karena panjang tanah harus positif,  nilai yang memenuhi adalah x = 72.
Untuk x = 72 maka y = x – 12 = 72 – 12 = 60
Jadi, panjang tanah  adalah 72 meter dan lebar tanah adalah 60 meter.

Nyatakan persamaan  2 (x2 + 1) = x (x + 3) ke dalam bentuk umum persamaan kuadrat!            Pemyelesaian :
                  2 (x2 + 1) = x (x + 3)
<=>     2x2 + 2 = x2 + 3x
<=>     2x2 – x2 + 2 = x2 – x2 + 3x (kedua ruas dikurangi x2)
<=>     x2 + 2 = 3x
<=>     x2 – 3x + 2 = 3x – 3x (kedua ruas dikurangi 3x)
<=>     x2 – 3x + 2 = 0
         Jadi, a =  1, b = -3, dan c = 2
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat 2x2 – 5x – 3 = 0, jika x є R!Penyelesaian :
         Dua bilangan yang jumlahnya -5
         Dan hasil kalinya 2 x (-3) = -6 adalah 1 dan -6 sehingga diperoleh
                        2x2 – 5x – 3 = 0
            <=>     (2x + 1) (2x – 6) = 0
            <=>     2x + 1 = 0 atau 2x – 6 = 0
                        x1 =             x2 = 3
            jadi HP {,3}

Tentukan persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya adalah 3 dan 0 !Penyelesaian :
         Dengan cara memfaktor
         x1 = 3 dan x2 = 0
         (x -  x1) (x – x2) = 0
         (x – 3) (x-0) = 0
         x (x – 3) = 0
         x2 – 3x = 0
Jumlah dua bilangan cacah adalah 12. jika hasil kali dua bilangan itu 35. Tentukan kedua bilangan cacah yang dimaksud !Penyelesaian :
Misalkan kedua bilangan itu x dan y maka x + y = 12
Dan xy = 35. Oleh karena itu, kita peroleh persamaan berikut :
          x (12 – x) = 35 (karena y = 12 – x)
<=> 12x – x2 = 35
<=> x2 – 12 = -35
<=> x2 – 12x  36 = -35 +36
<=> (x – 6)2 = 1
<=> x – 6 = ±1
<=> x - 6 = 1  atau x – 6 = -1
<=> x = 1 = 6 atau x = -1 + 6
<=> x = 7 atau x = 5
jika x1 = 7 maka y = 12 -  7 = 5
jika x2 = 5 maka y = 12 – 5 = 7
          jadi, kedua bilangan yang dimaksud adalah 5 dan 7

       Soal No.9

Tentukan akar-akar persamaam kuadrat x² + 6x = 0 ;      

Jawaban : 

x² + 6x = 0
x(x + 6) = 0
x = 0 atau x+ 6 =0
x = 0 atau x = - 6         

Bentuk  ax² +bx +c = 0

untuk a =1  , x² + bx +c = 0
Bentuk faktor dari persamaan kuadrat untuk a =1  adalah (x+α) (x+β)=0
x² + αx + βx + αβ = 0
x² + (α + β)x + αβ = 0

 

Soal No.10

 

Diketahui Tg A = 12/5, Sin B = 4/5 (A sudut lancip dan B Sudut tumpul). Tentukan nilai dari:
a. Sin (A + B)
b. Cos (A + B)
c. Tg (A - B)

Jawaban :
Tan A= 12/ 5
Tan A= 2,4
A= 67derajat
Sin B= 4/ 5
Sin B= 0,8
B= 53 derajat

a. sin (A+B)
=sin (67+53)
=sin (120)
=sin (180-60)
=sin 60
=1/2√3 =0,87

b. cos (A+B)
=cos (67+53)
=cos (120)
=cos (180-60)
= -cos 60 (bernilai negatif karena berada di kuadran 2)
= -1/2 = -0,5

c. tan (A-B)
=tan (67-53)
=tan (14)
=0,24

Soal No.11

   Diketahui p dan q adalah sudut lancip dan p – q = 30°. Jika cos p sin q = 1/6 , maka nilai dari sin p cos q = …
a. 1/6.

b. 2/6 

c. 3/6 

d. 4/6 

e. 5/6

Jawaban :
p – q = 30°
sin (p – q)= sin 30°
sin p cos q – cos p sin q = ½
sin p cos q – 1/6 = ½
sin p cos q = ½ + 1/6 = 4/6
jadi nilai sin p cos q = 4/6

Soal No.12

 Pada segitiga ABC lancip, diketahui cos A = 4/5 dan sin B =12/ 13 , maka sin C = ….
a. 20/65 

b. 36/65 

c. 56/65 

d. 60/65

 e. 63/65

Jawaban :
Karena segitiga ABC lancip , maka sudut A,B dan C juga lancip, sehingga :
cos A = 4/5, maka sin A = 3/5, (ingat cosami, sindemi dan tandesa)
sin B = 12/13, maka cos B = 5/13
A + B + C = 180°, (jml sudut -sudut dalam satu segitiga = 180)
A + B = 180 – C sin (A + B) = sin (180 – C)
sin A . cos B + cos A.sin B = sin C, ( ingat sudut yang saling berelasi : sin(180-x) = sin x)
sin C = sin A.cos B + cos A.sin B
sin C = 3/5.5/13 + 4/5.12/13
sin C = 15/65 + 48/65 = 63/65